Élie Baup débute comme gardien de but à l'US Larroque. Il rejoint l'US Toulouse à 15 ans. Il reste quatre ans au club avant de rejoindre à 19 ans le Sport Olympique Mazamet1. À l'âge de 20 ans, il est victime d'un grave accident de voiture et subit une double fracture des cervicales qui met un terme à sa carrière de joueur.

Après l’obtention de son diplôme d’entraineur en 1982, Elie Baup entraîne plusieurs équipe de foot : le CO de Castelnaudary (1982-1984), l’AS Saint-Etienne (1994-1996 et 2004-2006) les Girondins de Bordeaux (1997-2003) Le Toulouse FC (2006-2008) le FC Nantes (2008-2009) et l’Olympique de Marseille (2012-2013). 

Avec les Girondins de Bordeaux, il est champion de France en 1999 et remporte la Coupe de la Ligue en 2002 en battant le FC Lorient 3-0. Il est également finaliste de la Coupe de la Ligue en 1998 et du Trophée des champions en 1999. Avec l'Olympique de Marseille, il est vice-champion de France lors de la saison 2012-2013.

En 2004, il est aux côtés de Christophe Josse pour commenter l’Euro 2004 sur France Télévisions avant de rejoindre la team du Canal Football Club en tant que consultant régulier de l’émission de 2009 à 2012 sur Canal+. 

En 2013 il est nommé aux trophées UNFP en tant que meilleur entraîneur de l’année. Il rejoint alors beIN sports en 2014 et devient LE consultant dans l’émission « MultiLigue »1 le samedi soir en direct.